導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時，稱這個函數(shù)可導(dǎo)或者可微分。可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是一個求極限的過程，導(dǎo)數(shù)的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。

 導(dǎo)數(shù)(derivative function)

亦名紀(jì)數(shù)、微商，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。又稱變化率。

如一輛汽車在10小時內(nèi)走了 600千米，它的平均速度是60千米/小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設(shè)汽車所在位置s與時間t的關(guān)系為s=f(t)，那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內(nèi)的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，當(dāng) t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內(nèi)的運動變化情況 ，自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設(shè)一元函數(shù) y=f(x )在 x0點的附近(x0-a ，x0 +a)內(nèi)有定義，當(dāng)自變量的增量Δx= x-x0→0時函數(shù)增量 Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限，就說函數(shù)f在x0點可導(dǎo)，稱之為f在x0點的導(dǎo)數(shù)(或變化率)。若函數(shù)f在區(qū)間I 的每一點都可導(dǎo)，便得到一個以I為定義域的新函數(shù)，記作 f'，稱之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)。函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義：表示曲線l 在P0[x0，f(x0)] 點的切線斜率。一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性的法則：設(shè)y=f(x )在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間是單調(diào)增加的。。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)<0,則f(x)在這個區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f'(x)=0時，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率。

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念。

導(dǎo)數(shù)另一個定義：當(dāng)x=x0時，f‘(x0)是一個確定的數(shù)。這樣，當(dāng)x變化時，f'(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivative function)(簡稱導(dǎo)數(shù))。

y=f(x)的導(dǎo)數(shù)有時也記作y'，即 f'(x)=y'=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。如，導(dǎo)數(shù)可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經(jīng)濟學(xué)中的邊際和彈性。

以上說的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認(rèn)為是反映局部歐氏空間的函數(shù)變化。 為了研究更一般的流形上的向量叢截面(比如切向量場)的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò)”。 有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一。

注意：1.f'(x)<0是f(x)為減函數(shù)的充分不必要條件，不是充要條件。

2.導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點。當(dāng)函數(shù)為常值函數(shù)，沒有增減性，即沒有極值點。但導(dǎo)數(shù)為零。(導(dǎo)數(shù)為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右導(dǎo)數(shù)符號為正，該點為一般駐點。)

求導(dǎo)數(shù)的方法

(1)求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：

① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

② 求平均變化率

③ 取極限，得導(dǎo)數(shù)。

(2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

① C'=0(C為常數(shù)函數(shù));

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q);

③ (sinx)' = cosx;

④ (cosx)' = - sinx;

⑤ (e^x)' = e^x;

⑥ (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數(shù))

⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對數(shù))

⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)

補充一下。上面的公式是不可以代常數(shù)進去的，只能代函數(shù)，新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加注意。

(3)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

導(dǎo)數(shù)是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻!

導(dǎo)數(shù)公式及證明

這里將列舉幾個基本的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及它們的推導(dǎo)過程:

1.y=c(c為常數(shù)) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/(cosx)^2

8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/(1+x^2)

12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2)

在推導(dǎo)的過程中有這幾個常見的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x)看作整個變量，而g'(x)中把x看作變量』

2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，則有y'=1/x'

證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

2.這個的推導(dǎo)暫且不證，因為如果根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。

3.y=a^x,

Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

如果直接令Δx→0，是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個輔助的函數(shù)β=a^Δx-1通過換元進行計算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：Δx=loga(1+β)。

所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

顯然，當(dāng)Δx→0時，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把這個結(jié)果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

可以知道，當(dāng)a=e時有y=e^x y'=e^x。

4.y=logax

Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

因為當(dāng)Δx→0時，Δx/x趨向于0而x/Δx趨向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有

limΔx→0Δy/Δx=logae/x。

也可以進一步用換底公式

limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

可以知道，當(dāng)a=e時有y=lnx y'=1/x。

這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx

Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)

所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)•limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx

6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運用開頭的公式與

4.y=u土v,y'=u'土v'

5.y=uv,y=u'v+uv'

均能較快捷地求得結(jié)果。

對于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導(dǎo)方法。

y=x^n

由指數(shù)函數(shù)定義可知，y>0

等式兩邊取自然對數(shù)

ln y=n*ln x

等式兩邊對x求導(dǎo)，注意y是y對x的復(fù)合函數(shù)

y' * (1/y)=n*(1/x)

y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)

冪函數(shù)同理可證

導(dǎo)數(shù)說白了它其實就是斜率

上面說的分母趨于零,這是當(dāng)然的了,但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩者的比就有可能是某一個數(shù),如果分子趨于某一個數(shù),而不是零的話,那么比值會很大,可以認(rèn)為是無窮大,也就是我們所說的導(dǎo)數(shù)不存在.

x/x,若這里讓X趨于零的話,分母是趨于零了,但它們的比值是1,所以極限為1.

建議先去搞懂什么是極限.極限是一個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸.

并且要認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)是一個比值.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性

利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

一般地，在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)是常函數(shù).

注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時f'(x)=0

(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

①確定f(x)的定義域;

②求導(dǎo)數(shù);

③由(或)解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)f'(x)>0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)f'(x)<0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).

2.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極值的判定

①如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點;

②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么，是極大值或極小值.

3.求函數(shù)極值的步驟

①確定函數(shù)的定義域;

②求導(dǎo)數(shù);

③在定義域內(nèi)求出所有的駐點，即求方程及的所有實根;

④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.

4.函數(shù)的最值

(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)內(nèi)一點處取得的，顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念.

(2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟

①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值;

②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

5.生活中的優(yōu)化問題

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非?，F(xiàn)實的意義.這些問題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問題.